Совсем недавно мы писали о новой головоломке под названием «игра в конфигурации». Она допускает разнообразные модификации и обобщения, о которых рассказывает автор этой игры в нашем материале.
Антонио Грамши
Если вы еще не знакомились с нашей уникальной игрой в конфигурации, советуем прочесть статьи №1 и №2, а затем возвращаться сюда. Да, интеллектуальный досуг требует терпения!
Конфигурации с удлиненными тройками
До сих пор мы выстраивали тройки из квадратиков, стоящих в соседних клетках поля. Теперь сделаем допустимыми также и тройки, квадратики в которых стоят через одну клетку — по вертикали, горизонтали или диагоналям (рис. 18).
Рисунок 18 Примеры удлиненных троек
Правила выставления квадратиков теперь распространяются и на удлиненные тройки, но при этом они не должны вступать в противоречие с правилами выставления обычных троек и наоборот. Переформулируем правила выставления квадратиков следующим образом.
1. Каждый выставляемый квадратик должен образовывать с уже выставленными хотя бы один обычный ряд из трех квадратиков (в котором они касаются друг друга) или хотя бы один удлиненный (в котором они стоят через клетку). Ряды могут быть ориентированы, как и прежде, по вертикали, диагонали или диагонали.
2. Запрещается ставить квадратик, если он при этом образует с уже выставленными хотя бы один ряд более чем из трех рядом стоящих квадратиков — как обычный, так и удлиненный. Последнее правило проиллюстрировано на рис. 19.
Рисунок 19
Введение удлиненных троек резко повышает вариативность возможных конфигураций. Но при этом, как и прежде, конечные затравки порождают конечные полные конфигурации.
Полные конфигурации, полученные из простейших затравок, включая тетраду, могут содержать более сотни квадратиков. Поэтому интерес представляют, в основном, задачи, в которых по фиксированной затравке требуется найти минимальные полные конфигурации. Лишь в отдельных случаях, для специальных затравок, имеет смысл задача и по поиску максимальной полной конфигурации.
Найдите минимальную полную конфигурацию для тетрады (рис. 20).
Рисунок 20
Решение приведено на рис. 21.
Рисунок 21
Интересна также задача, состоящая в поиске минимальной затравки, порождающей данную полную конфигурацию. Пример такой задачи приведен на рис. 22.
Рисунок 22 Для данной полной конфигурации требуется найти минимальную затравку
Решение задачи приведено на рис. 23.
Рисунок 23 Минимальная затравка состоит из шести квадратиков
Аналогичная задача приведена на рис. 24.
Рисунок 24
А ее решение представлено на рис.25:
Рисунок 25
Представляют большой интерес задачи, состоящие в поиске для данной затравки кратчайшей последовательности ходов, ведущих от квадратика, считающегося начальным к другому квадратику, считающемуся конечным. Простая задача такого рода представлена на рис. 26.
Рисунок 26 Для данной затравки найти кратчайшую последовательность ходов, ведущую от зеленого квадратика к желтому.
На рис. 27 приведено ее решение:
Рисунок 27 Решение. Промежуточные квадратики выделены оранжевым цветом, числами обозначены номера соответствующих ходов.
Так же, как и в простейшем случае (без удлиненных троек), игру можно перенести на бесконечное поле, рассматривая полные конфигурации, полученные из бесконечных затравок. Рассмотрим в качестве такой затравки бесконечный набор тетрад, фрагмент которого изображен на рис. 28.
Рисунок 28
Один из вариантов полной конфигурации, полученной из нее, изображен на рис. 29.
Рисунок 29
Найдите ее плотность.
Для бесконечных затравок, так же, как и конечных, интересно находить минимальные, а в отдельных случаях и максимальные полные конфигурации. Например, для вышеприведенного набора тетрад минимальной полной конфигурацией, возможно, будет следующая (рис. 30):
Рисунок 30
Плотность этой конфигурации, очевидно, равна 16/49. Обратите внимание, что ее базовым элементом служит рассмотренная выше минимальная полная конфигурация для отдельной тетрады. Максимальная полная конфигурация, порождаемая данным набором тетрад, автору неизвестна.
Рекомендации
В заключение вкратце опишем дальнейшие возможные обобщения игры в конфигурации. Во‑первых, можно добавить новые допустимые удлиненные тройки, в которых квадратики (крестики) располагаются через две, три и большее число клеток. Разумеется, при этом стремительно возрастает сложность и размеры полных конфигураций. Автор предполагает, что, несмотря на это, используя конечный набор допустимых троек, из конечных затравок можно построить опять-таки лишь конечные полные конфигурации.
Во-вторых, вместо троек можно использовать четверки, пятерки и вообще ряды из n квадратиков (крестиков) — как обычные, так и удлиненные. Размеры полных конфигураций при этом, по сравнению с конфигурациями из троек, наоборот, заметно уменьшаются.
Ну и, наконец, в рамках одной игры можно допустить ряды из разного числа элементов, например, из трех и четырех. При этом полные конфигурации, построенные даже из конечных затравок, могут быть бесконечными.
Мы не будем разбирать все эти варианты. При желании читатель сам может поэкспериментировать с ними.
Спасибо!
Теперь редакторы в курсе.