Зовсім недавно ми писали про нову головоломці під назвою «гра в конфігурації». Вона допускає різноманітні модифікації та узагальнення, про яких розповідає автор цієї гри в нашому матеріалі.
Антоніо Грамші
Якщо ви ще не знайомилися з нашою унікальною грою в конфігурації, радимо прочитати статті №1 і №2, а потім повертатися сюди. Так, інтелектуальне дозвілля вимагає терпіння!
Конфігурації з видовженими трійками
Досі ми вибудовували трійки з квадратиків, які стоять у сусідніх клітинах поля. Тепер зробимо допустимими також і трійки, квадратики в яких стоять через одну клітку — по вертикалі, горизонталі або діагоналях (рис. 18).
Малюнок 18 Приклади подовжених трійок
Правила виставлення квадратиків тепер поширюються і на подовжені трійки, але при цьому вони не повинні вступати в протиріччя з правилами виставлення звичайних трійок і навпаки. Переформулюємо правила виставлення квадратиків наступним чином.
1. Кожен виставляється квадратик повинен утворювати з вже виставленими хоча б один звичайний ряд з трьох квадратиків (в якому вони торкаються одне одного) або хоча б один подовжений (у якому вони стоять через клітку). Ряди можуть бути орієнтовані, як і раніше, по вертикалі, діагоналі або діагоналі.
2. Забороняється ставити квадратик, якщо він при цьому утворює з вже виставленими хоча б один ряд більш ніж з трьох стоять поруч квадратиків — як звичайний, так і подовжений. Останнє правило проілюстровано на рис. 19.
Малюнок 19
Введення подовжених трійок різко підвищує варіативність можливих конфігурацій. Але при цьому, як і раніше, кінцеві затравки породжують кінцеві повні конфігурації.
Повні конфігурації, отримані з найпростіших затравок, включаючи тетраду, можуть містити більше сотні квадратиків. Тому інтерес представляють, в основному, завдання, в яких за фіксованою затравки потрібно знайти мінімальні повні конфігурації. Лише в окремих випадках, для спеціальних затравок, має сенс завдання і пошуку максимальної повної конфігурації.
Знайдіть мінімальну повну конфігурацію для тетради (рис. 20).
Малюнок 20
Рішення наведено на рис. 21.
Малюнок 21
Цікава також завдання, що полягає у пошуку мінімальної затравки, що породжує цю повну конфігурацію. Приклад такої задачі наведено на рис. 22.
Малюнок 22 Для даної повної конфігурації потрібно знайти мінімальну затравку
Рішення задачі наведено на рис. 23.
Малюнок 23 Мінімальна запал складається з шести квадратиків
Аналогічна задача наведена на рис. 24.
Малюнок 24
А її рішення представлене на рис.25:
Малюнок 25
Представляють великий інтерес завдання, що полягають у пошуку для даної затравки найкоротшою послідовності ходів, що ведуть від квадратика, вважається початковим до іншого квадратика, вважається кінцевим. Проста задача такого роду представлена на рис. 26.
Малюнок 26 Для даної затравки знайти найкоротшу послідовність ходів, що ведуть від зеленого квадратика до жовтого.
На рис. 27 наведено її рішення:
Малюнок 27 Рішення. Проміжні квадратики виділені помаранчевим кольором, числами позначені номери відповідних ходів.
Так само, як і в найпростішому випадку (без подовжених трійок), гру можна перенести на нескінченне поле, розглядаючи повні конфігурації, отримані з нескінченних затравок. Розглянемо в якості такої затравки нескінченний набір тетрад, фрагмент якого зображено на рис. 28.
Малюнок 28
Один з варіантів повної конфігурації, отриманої з неї, зображений на рис. 29.
Малюнок 29
Знайдіть її щільність.
Для нескінченних затравок, так само, як і кінцевих, цікаво знаходити мінімальні, а в окремих випадках і максимальні повні конфігурації. Наприклад, для наведеного вище набору тетрад мінімальної повної конфігурацією, можливо, буде наступна (рис. 30):
Малюнок 30
Щільність цієї конфігурації, очевидно, дорівнює 16/49. Зверніть увагу, що її базовим елементом служить розглянута вище мінімальна повна конфігурація для окремої тетради. Максимальна повна конфігурація, породжувана даними набором тетрад, автору невідома.
Рекомендації
На закінчення коротко опишемо подальші можливі узагальнення гри в конфігурації. По‑перше, можна додати нові допустимі подовжені трійки, в яких квадратики (хрестики) розташовуються через дві, три і більше число клітин. Зрозуміло, при цьому стрімко зростає складність і розміри повних конфігурацій. Автор припускає, що, незважаючи на це, використовуючи кінцевий набір допустимих трійок, з кінцевих затравок можна побудувати знову-таки лише кінцеві повні конфігурації.
По-друге, замість трійок можна використовувати четвірки-п’ятірки і взагалі ряди з n квадратиків (хрестиків) — як звичайні, так і подовжені. Розміри повних конфігурацій при цьому, порівняно з конфігураціями з трійок, навпаки, помітно зменшуються.
Ну і, нарешті, в рамках однієї гри можна допустити ряди з різного числа елементів, наприклад, з трьох і чотирьох. При цьому повні конфігурації, побудовані навіть з кінцевих затравок, можуть бути нескінченними.
Ми не будемо розбирати всі ці варіанти. При бажанні читач сам може поекспериментувати з ними.
Thanks!
Our editors are notified.