Совсем недавно мы писали о новой головоломке под названием «игра в конфигурации». Она допускает разнообразные модификации и обобщения, предлагаем рассмотреть самые интересные из них.
Антонио Грамши
- Если вы еще не прочли наш лонгрид об игре в конфигурации — скорее переходите по ссылке, а затем возвращайтесь и изучайте более сложные варианты игры.
Теперь вместо крестиков будем использовать цветные квадратики — составленные из них конфигурации воспринимаются легче. Кроме того, их можно быстро и легко рисовать в Word’е, используя цветовую заливку табличных ячеек.
Игра «Не больше трех»
Единственное правило выставления квадратиков здесь следующее: по вертикали, горизонтали и диагоналям не должно стоять более трех соседних (соприкасающихся) квадратиков. Соответственно, допустимы изолированные и объединенные лишь в пары квадратики. В качестве затравки используется пустое поле.
Самая интересная задача состоит в нахождении минимальных и максимальных полных конфигураций для заданных конечных полей, представляющих собой различные геометрические фигуры.
Даже в простейших случаях мы сталкиваемся с нетривиальными задачами комбинаторной геометрии. Рассмотрим, для начала, квадратное поле 4х4, представленное на рисунке 1. Далее листайте галерею право.
Минимальной полной конфигурацией для него будет квадрат, составленный из 3×3=9 квадратиков, примыкающий к любому из четырех углов поля (рис. 2).
Максимальная полная конфигурация представлена на рис. 3. Число квадратиков в ней равно 12.
Есть ли другие, принципиально отличные от приведенных выше, минимальные и максимальные полные конфигурации? Найдите для этого же поля полную конфигурацию с каким-нибудь промежуточным числом квадратиков, например, 11. Решение представлено на рис. 4.
Рассмотрим теперь квадратное поле 5×5 (рис. 5).
смотреть ещё раз
-
Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy
11
-
Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки»
26
-
Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов
6
-
Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х
12
-
Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт»
12
Рассмотрим теперь квадратное поле 5×5 (рис. 5). Далее листайте галерею право.
Минимальная полная конфигурация для него, представленная на рис. 6, тоже состоит из 9 квадратиков.
Максимальная полная конфигурация состоит из 17 квадратиков (ее варианты представлены на рис. 7 и 8).
Найдите другие максимальные полные конфигурации для этого поля. Несложно найти минимальную полную конфигурацию для квадрата 6×6 (рис. 9).
Найдите для него максимальную полную конфигурацию. Найдите минимальную и максимальную полные конфигурации для квадратных полей 7×7, 8×8 и т. д.
смотреть ещё раз
-
Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy
11
-
Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки»
26
-
Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов
6
-
Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х
12
-
Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт»
12
Перейдем к полям иных форм. Интереснейший случай — крестообразное поле, изображенное на рис. 10.
Рисунок 10
Найдите для него минимальную полную конфигурацию.
Решив подобную задачу для квадратных полей небольших размеров, можно было бы предположить, что и в данном случае элементами минимальной полной конфигурации будут квадраты, составленные из 3х3=9 квадратиков, или близкие к ним фигуры.
На рис. 11 и 12 представлены соответствующие гипотетические решения.
смотреть ещё раз
-
Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy
11
-
Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки»
26
-
Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов
6
-
Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х
12
-
Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт»
12
Но, оказывается, это не минимальные полные конфигурации, а… наоборот, максимальные. Число квадратиков в них равно 33.
Минимальные же полные конфигурации совершенно иные. Они представлены на рис. 13 и 14. Число квадратиков в них равно 24. Парадоксальным образом, в них встречаются элементы, входящие в максимальные полные конфигурации для квадратных полей.
смотреть ещё раз
-
Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy
11
-
Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки»
26
-
Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов
6
-
Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х
12
-
Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт»
12
Найдите минимальные и максимальные полные конфигурации для ступенчатых диагональных квадратов разных размеров (квадрат 4х4 такого рода представлен на рис. 15).
Рисунок 15
В игре «Не больше трех» интересны и полные конфигурации на бесконечном поле. Поскольку число квадратиков в них бесконечно, в качестве количественной меры следует использовать плотность, равную пределу (если он существует) отношения n/Sk при k→∞, где Sk = k х k — площадь квадрата со стороной k, а n — число заключенных в нем квадратиков. Плотность не должна зависеть от выбора последовательности увеличивающихся квадратов.
Плотность полной конфигурации, изображенной на рис. 16, очевидно, равна 9/16= 0,5625. Исходя из минимальных полных конфигураций для конечных квадратных полей, можно предположить, что данная полная конфигурация тоже минимальна.
Найдите плотность полной конфигурации, представленной на рис. 17.
смотреть ещё раз
-
Девушки и автомобили: все розовые автомобили «Моделей года» Playboy
11
-
Wilson Combat: самые красивые кастомные «пушки»
26
-
Wings For Victory: авиационные британские плакаты 1940-х годов
6
-
Рекламные плакаты автомобильных компаний 1910−1930-х
12
-
Рекламные фотографии советских тракторов: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламные фотографии советских автомобилей: «Автоэкспорт»
12
Максимальная полная конфигурация на бесконечном поле и ее плотность автору пока не известны. Быть может, на этот вопрос сможет ответить наш читатель?
Спасибо!
Теперь редакторы в курсе.