Зовсім недавно ми писали про нову головоломці під назвою «гра в конфігурації». Вона допускає різноманітні модифікації та узагальнення, пропонуємо розглянути найцікавіші з них.
Антоніо Грамші
- Якщо ви ще не прочитали наш лонгрид про гру в конфігурації — швидше переходьте за посиланням, а потім повертайтеся і вивчайте більш складні варіанти гри.
Тепер замість хрестиків будемо використовувати кольорові квадратики — складені з них конфігурації сприймаються легше. Крім того, їх можна швидко і легко малювати в word’і, використовуючи кольорову заливку табличних осередків.
Гра «Не більше трьох»
Єдине правило виставлення квадратиків тут наступне: по вертикалі, горизонталі і діагоналях не повинно бути більше трьох сусідніх (дотичних) квадратиків. Відповідно, допустимі ізольовані і об’єднані в пари квадратики. В якості затравки використовується порожнє поле.
Найцікавіша завдання полягає в знаходженні мінімальних і максимальних повних конфігурацій для заданих кінцевих полів, що представляють собою різні геометричні фігури.
Навіть в найпростіших випадках ми стикаємося з нетривіальними завданнями комбінаторної геометрії. Розглянемо, для початку, квадратне поле 4х4, представлене на малюнку 1. Далі гортайте галерею право.
Мінімальної повної конфігурацією для нього буде квадрат, складений з 3×3=9 квадратиків, що примикає до будь-якого з чотирьох кутів поля (рис. 2).
Максимальна повна конфігурація представлена на рис. 3. Число квадратиків в ній дорівнює 12.
Є інші, принципово відмінні від наведених вище, мінімальні і максимальні повні конфігурації? Знайдіть для цього ж поля повну конфігурацію з яким-небудь проміжним числом квадратиків, наприклад, 11. Рішення представлене на рис. 4.
Розглянемо тепер квадратне поле 5×5 (рис. 5).
дивитися ще раз
-
Дівчата і автомобілі: всі рожеві автомобілі «Моделей року» Playboy
11
-
Wilson Combat: найкрасивіші кастомний «гармати»
26
-
Wings For Victory:: британські плакати 1940-х років
6
-
Рекламні плакати автомобільних компаній 1910-1930рр-х
12
-
Рекламні фотографії радянських тракторів: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламні фотографії радянських автомобілів: «Автоэкспорт»
12
Розглянемо тепер квадратне поле 5×5 (рис. 5). Далі гортайте галерею право.
Мінімальна повна конфігурація для нього, представлена на рис. 6, теж складається з 9 квадратиків.
Максимальна повна конфігурація складається з 17 квадратиків (її варіанти представлені на рис. 7 та 8).
Знайдіть інші максимальні повні конфігурації для цього поля. Нескладно знайти мінімальну повну конфігурацію для квадрата 6×6 (рис. 9).
Знайдіть для нього максимальну повну конфігурацію. Знайдіть мінімальну і максимальну повні конфігурації для квадратних полів 7×7, 8×8 і т. д.
дивитися ще раз
-
Дівчата і автомобілі: всі рожеві автомобілі «Моделей року» Playboy
11
-
Wilson Combat: найкрасивіші кастомний «гармати»
26
-
Wings For Victory:: британські плакати 1940-х років
6
-
Рекламні плакати автомобільних компаній 1910-1930рр-х
12
-
Рекламні фотографії радянських тракторів: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламні фотографії радянських автомобілів: «Автоэкспорт»
12
Перейдемо до полів інших форм. Цікавий випадок — хрестоподібне поле, зображене на рис. 10.
Малюнок 10
Знайдіть для нього мінімальну повну конфігурацію.
Вирішивши подібну задачу для квадратних полів невеликих розмірів, можна було б припустити, що і в даному випадку елементами мінімальної повної конфігурації будуть квадрати, складені з 3х3=9 квадратиків, або близькі до них фігури.
На рис. 11 і 12 представлені відповідні гіпотетичні рішення.
дивитися ще раз
-
Дівчата і автомобілі: всі рожеві автомобілі «Моделей року» Playboy
11
-
Wilson Combat: найкрасивіші кастомний «гармати»
26
-
Wings For Victory:: британські плакати 1940-х років
6
-
Рекламні плакати автомобільних компаній 1910-1930рр-х
12
-
Рекламні фотографії радянських тракторів: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламні фотографії радянських автомобілів: «Автоэкспорт»
12
Але, виявляється, це не мінімальні повні конфігурації, а… навпаки, максимальні. Число квадратиків у них дорівнює 33.
Мінімальні ж повні конфігурації зовсім інші. Вони представлені на рис. 13 і 14. Число квадратиків у них дорівнює 24. Парадоксальним чином, в них зустрічаються елементи, що входять до максимальні повні конфігурації для квадратних полів.
дивитися ще раз
-
Дівчата і автомобілі: всі рожеві автомобілі «Моделей року» Playboy
11
-
Wilson Combat: найкрасивіші кастомний «гармати»
26
-
Wings For Victory:: британські плакати 1940-х років
6
-
Рекламні плакати автомобільних компаній 1910-1930рр-х
12
-
Рекламні фотографії радянських тракторів: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламні фотографії радянських автомобілів: «Автоэкспорт»
12
Знайдіть мінімальні і максимальні повні конфігурації для ступінчастих діагональних квадратів різних розмірів (квадрат 4х4 такого роду представлений на рис. 15).
Малюнок 15
У грі «Не більше трьох» цікаві і повні конфігурації на нескінченному полі. Оскільки число квадратиків в них нескінченно, в якості кількісної міри слід використовувати густину, рівну межі (якщо він існує) відношення n/Sk при k→∞, де Sk = k х k — площа квадрата зі стороною k, а n — число ув’язнених у ньому квадратиків. Густина не повинна залежати від вибору послідовності збільшуються квадратів.
Щільність повної конфігурації, зображеної на рис. 16, очевидно, дорівнює 9/16= 0,5625. Виходячи з мінімальних повних конфігурацій для кінцевих квадратних полів, можна припустити, що дана повна конфігурація теж мінімальна.
Знайдіть щільність повної конфігурації, представленої на рис. 17.
дивитися ще раз
-
Дівчата і автомобілі: всі рожеві автомобілі «Моделей року» Playboy
11
-
Wilson Combat: найкрасивіші кастомний «гармати»
26
-
Wings For Victory:: британські плакати 1940-х років
6
-
Рекламні плакати автомобільних компаній 1910-1930рр-х
12
-
Рекламні фотографії радянських тракторів: «Трактороэкспорт»
10
-
Рекламні фотографії радянських автомобілів: «Автоэкспорт»
12
Максимальна повна конфігурація на нескінченному полі і її щільність автору поки не відомі. Бути може, на це питання зможе відповісти наш читач?
Thanks!
Our editors are notified.