Гра в конфігурації: дізнайтеся про неї першими

Пропонуємо вам варіант ще однієї нової і захоплюючої гри, яка підійде як дітям, так і дорослим. На перший погляд, вона являє собою типову головоломку з змінними початковими умовами типу кубика Рубіка, судоку або пасьянсу. Однак її можливості значно ширші.

Пропонуємо вам варіант ще однієї нової і захоплюючої гри, яка підійде як дітям, так і дорослим. На перший погляд, вона являє собою типову головоломку з змінними початковими умовами типу кубика Рубіка, судоку або пасьянсу. Однак її можливості значно ширші.

Антоніо Грамші

Гра в конфігурації може використовуватися як конструктор для різноманітних красивих конфігурацій — аналогічно грі (точніше, кліткового автомата) «Життя», а також для створення цікавих математичних задач.

Правила гри дуже прості. На «нескінченному» аркуші паперу в клітинку задається довільна початкова конфігурація з кінцевого числа хрестиків, яку назвемо затравкою. Приклад затравки представлений на рис. 1.

Малюнок 1 Назвемо наведену на малюнку затравку з чотирьох хрестиків тетрадой. Тут і в наступних малюнках затравка виділена синім кольором.

До затравки послідовно додаються нові хрестики у відповідності з наступними двома правилами.

1. Кожен виставляється хрестик повинен утворювати з вже виставленими хоча б один ряд з трьох стоять поруч хрестиків по вертикалі, горизонталі або діагоналі. З цього правила випливає, що не можна виставляти ізольований хрестик, а також вибудовувати ряд, що складається лише з двох поруч розташованих хрестиків.
2. Забороняється ставити хрестик, якщо він при цьому утворює з вже виставленими хоча б один ряд більш ніж з трьох стоять поруч хрестиків. Ці правила ілюструються на рис. 2.

Малюнок 2 В клітини 1, 2, 3 ставити хрестики можна. Після цього в клітку 4 хрестик ставити не можна, оскільки утворюється ряд з чотирьох поруч стоять по вертикалі хрестиків [1, 2, 3, 4] (порушено правило 2). У клітку 5 хрестик теж ставити не можна, оскільки при цьому утворюється діагональний ряд лише з двох хрестиків [1, 5] (порушено правило 1).

Виявляється, до будь-затравки можна додати лише кінцеве число нових хрестиків (нескінченні затравки ми поки не чіпаємо). Спробуйте це довести!

Конфігурації, до яких неможливо, не порушуючи правил, додати нові хрестики, назвемо повними. В іншому випадку вони вважаються неповними. Деякі повні конфігурації, породжені тетрадой, володіють витонченим симетричною структурою (рис. 3 — 6).

Повна конфігурація з 9 хрестиків.

Повна конфігурація з 12 хрестиків. Її симетричність порушена нижнім лівим хрестиком тетради. Тим не менш, конфігурація сприймається як правильна. Це пов’язано з тим, що вона отримана двома послідовними паралельними переносами конфігурації з чотирьох хрестиків. Який?

Повна конфігурація з 14 хрестиків.

Повна конфігурація з 15 хрестиків.

Ще одна повна конфігурація з 15 хрестиків.

Кінцівку повних конфігурацій природним чином визначає кілька взаємозалежних класів задач, які можна вважати цілями гри. Наведемо деякі з них.

1. Для заданої затравки знайти повну конфігурацію з максимальним числом хрестиків. У загальному випадку ця задача складна (поки не знайдено розумного алгоритму, не зводиться до простого перебору можливостей). Автор припускає, що до тетраді можна додати, найбільше, 19 нових хрестиків. Відповідна повна конфігурація з 23 хрестиків зображена на рис. 8.

Малюнок 8 Відновіть послідовність ходів, що ведуть до цієї повної конфігурації.

Можна, навпаки, задатися метою знайти для даної затравки мінімальну повну конфігурацію. Для тетради нею буде квадрат 3 3, зображений на рис. 3. Число хрестиків в ньому дорівнює 9.2. Для заданої затравки знайти повну конфігурацію з фіксованим числом хрестиків. Автору вдалося знайти породжені тетрадой повні конфігурації з числом хрестиків, рівним 9, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 22 і 23. Спробуйте самостійно знайти їх. До речі, для числа 12 існують як мінімум три різні конфігурації.

Цікаве в мережі

3. Для заданої повної конфігурації знайти породжує її мінімальну затравку (тобто таку, яка складається з мінімального числа хрестиків). Зрозуміло, при цьому потрібно відшукати і відповідну послідовність ходів. Складання і рішення задач такого роду може доставити справжнє естетичне задоволення. Наведемо два приклади. Знайдіть мінімальну затравку для повної конфігурації, зображеної на рис. 9.

Малюнок 9

В якості рішення напрошується примана з чотирьох хрестиків, що володіє тим же типом симетрії, що і кінцева конфігурація. Проте завдання вирішують затравки з іншим типом симетрії. Дві з них зображені на рис. 10a і 10b.

Малюнок 10a і 10b

Вирішити аналогічну задачу для повної конфігурації, зображеної на рис. 11.

Малюнок 11

Мінімальна кількість хрестиків в затравки для цієї конфігурації дорівнює 5. Два варіанти рішення представлені на рис. 12a і 12b.

Малюнок 12а і 12b

Повні конфігурації можуть бути використані в якості елементів декору. Їх головне естетичне гідність — ажурність. На рис. 13 наведені симетричні повні конфігурації, отримані з тетради, представлені у вигляді кольорової мозаїки.

Малюнок 13

Назвемо таку мозаїку еквідистантно (від лат. equus — рівний, distantia — відстань). Це означає, що будь-який відрізок, що з’єднує центри виставлених квадратиків і цілком належить їм, не перевищує фіксованої величини, вираженої в умовних метричних одиницях, в даному випадку трьох одиниць. Мається на увазі так звана шахова метрика, в якій сторона квадрата дорівнює його діагоналі. Представимо у вигляді кольорової мозаїки повні конфігурації з останніх двох завдань (рис. 14).

Малюнок 14

Тепер використовуємо блакитну фігуру зліва в якості повторюваного елемента — мономеру — нескінченного ланцюга, яка, в свою чергу, утворює повну конфігурацію (рис. 15).

Малюнок 15 Ланцюг йде в напрямку від верхнього лівого кута в нижній правий. Зображений її кінцевий фрагмент. Червоним кольором виділені квадратики, які після з’єднання мономерів в ланцюг додані для того, щоб конфігурація стала повною.

Приєднаємо з лівої сторони отриманої ланцюга її копію так, щоб в результаті теж вийшла повна конфігурація (рис. 16).

Малюнок 16 Жовтим кольором виділені квадратики, які після з’єднання ланцюгів додані для того, щоб конфігурація стала повною.

Ясно, що продовжуючи процес приєднання ланцюгів зліва, можна заповнити всю площину (рис. 17).

Малюнок 17

Вважаючи білі квадратики елементами мозаїки, отримаємо замощення площині. Отримане нами замощення володіє різноманітними елементами (видами) симетрії. Зможете їх перерахувати?

Цікаве в мережі

Ми навмисно використовували ускладнене з’єднання мономерів у ланцюг — через червоний квадратик, щоб отримати нетривіальне замощення з багатим набором симетрій. Зрозуміло, можна було з’єднати мономери більш простим способом. Яким? Побудуйте відповідну замощення. За допомогою аналогічної процедури, проведеної над іншими повними конфігураціями, можна отримати нові цікаві мозаїки.

Знайдіть красиві рішення!

Источник